Výpočet aritmetických a geometrických posloupností
Pravidla, vzorce a využití v praxi
Posloupnost je uspořádaný seznam čísel, který se řídí určitým pravidlem. Nejběžnější jsou dva typy: aritmetická (stálý rozdíl) a geometrická (stálý podíl). Aritmetická posloupnost: Každý člen se zvětší o pevnou hodnotu (diferenci d). 3, 7, 11, 15... (d=4). n-tý člen: a(n) = a₁ + (n-1)d. Součet n členů: S = n/2 × (první + poslední). Geometrická posloupnost: Každý člen se násobí pevným kvocientem (r). 2, 6, 18, 54... (r=3). n-tý člen: a(n) = a₁ × r^(n-1). Součet: S = a₁(1-rⁿ)/(1-r) pro r≠1. Využití v praxi: Aritmetická: pravidelné zvyšování mzdy, rovnoměrně rozložené platby, změny teploty. Geometrická: složené úročení (peníze rostou geometricky), růst populace, radioaktivní rozpad, šíření virů. Nekonečná geometrická řada: Pokud |r| < 1, součet konverguje ke konečné hodnotě: S = a₁/(1-r). Příklad: 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125... = 1/(1-0,5) = 2.
Další užitečné nástroje pro matematické výpočty
Jak kalkulačku používat? Zvolte typ posloupnosti a zadejte hodnoty. Aritmetická: aₙ = a₁ + (n-1)d, geometrická: aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹
Posloupnost se stálou diferencí: 2, 5, 8, 11...
Posloupnost se stálým kvocientem: 2, 4, 8, 16...
Vypočítejte libovolný člen posloupnosti
Zjistěte součet prvních n členů
O posloupnostech
Každý člen vznikne přičtením stálého čísla k předchozímu členu. Příklad: 3, 7, 11, 15 (diference = 4)
Každý člen vznikne vynásobením předchozího členu stálým číslem. Příklad: 2, 6, 18, 54 (kvocient = 3)
Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n-1)d) nebo Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)
Sₙ = a₁ × (rⁿ - 1) / (r - 1) (pro r ≠ 1)